Выросший в рабочей семье, Алексей Бабицын рано примкнул к революционному движению. Свой трудовой путь он начал на Борисовском стекольном заводе в Вышневолоцком уезде Тверской губернии. На этом заводе работал и его отец. Потом Алексей поступил на завод Добровольского. Ему было 16 лет, когда он с группой товарищей организовал на этом заводе стачку подростков. Заводские мальчики добились победы, им повысили заработок.
Через три года молодой стекольщик наладил связь с рабочими-революционерами. Он стал ревностным читателем «Правды», распространителем ее, а затем и корреспондентом. В 1914 году в «Правде» были опубликованы заметки А. Бабицына о жизни рабочих на стекольном заводе. Под ними стояли подписи: «Прохожий стекольщик» и «Стекольщик».
В начале войны Бабицын переехал в Петроград. Он работал на заводах Слюсаренко, «Новый Парвиайнен» и других. На «Новом Парвиайнене» в 1915 году его приняли в большевистскую партию. Он вел антивоенную пропаганду среди рабочих, собирал деньги в помощь жертвам царских репрессий, успешно агитировал против участия в выборах в военно-промышленные комитеты. В это время

А. Бабицын представлял заводскую организацию в Выборгском райкоме РСДРП(б). Затем он перешел на работу сначала на завод Нобеля, а затем на Арматурный, от партийного коллектива которого также входил в райком партии.
В октябре 1916 года А. А. Бабицын выступал на собрании рабочих завода «Новый Лесснер». После этого выступления полиция арестовала его. Алексея Александровича заточили в «Кресты», а перед самой Февральской революцией выслали в Торжок.
Бабицын без колебаний принял Апрельские тезисы И. Ленина и последовательно отстаивал их. В первой половине апреля 1917 года на собрании организации РСДРП(б) завода «Новый Парвиайнен» А. А. Бабицын вместе с П. П. Ереминым и другими большевиками камня на камне не оставили от доводов противника Апрельских тезисов, выступавшего на собрании. Они на фактах доказали, что сама жизнь, сама практика революционной борьбы неопровержимо подтверждают правоту и жизненность ленинского плана социалистической революции.
В июне 1917 года рабочие «Нового Парвиайнена» избрали Алексея Александровича председателем заводского комитета. В июльские дни А. А. Бабицын вел большую разъяснительную работу среди рабочих, мобилизуя их на борьбу с корниловщиной.
В дни Октябрьского вооруженного восстания Алексей Александрович был в составе одного из красногвардейских отрядов Выборгской стороны. 29 октября участвовал во взятии Владимирского училища, где засели юнкера, поднявшие мятеж против Советской власти.
После Октябрьской революции А. А. Бабицын – на профсоюзной, партийной и советской работе. С 1957 года – на пенсии, живет в Москве.