Тело, ограниченное несколькими плоскими гранями, называется много- гранником. Это, например, куб и параллелепипед, призмы и пирамиды. О них вы можете прочитать в статьях «Призма и цилиндр», «Пирамида и конус».
Особенно важную роль играют выпуклые многогранники, т. е. такие, что если взять плоскость любой его грани, то весь многогранник окажется по одну сторону от этой плоскости . Многогранник со сквозным отверстием, изображенный на рис. 3, выпуклым не является.
Среди всех выпуклых многогранников только пять называются правильными. У правильного многогранника все грани — правильные многоугольники с одинаковым числом сторон. Куб — один из них. У трех других правильных многогранников все грани — равносторонние треугольники. Их называют тетраэдром, октаэдром и икосаэдром (от древнегреческих слов «тетра», «окта», «икоса», означающих 4, 8, 20 — по числу граней).
Наконец, еще у одного правильного многогранника имеются 12 граней, все они правильные пятиугольники. Его называют додекаэдром . Свойствами правильных многогранников особенно много занимался древнегреческий математик и философ Платон, поэтому их часто называют платоновыми телами. Вы можете самостоятельно склеить их, взяв несколько правильных многоугольников с «клапанами» для склейки.
Обозначим через Г число граней многогранника, через Р — число его ребер, а через В — число вершин. Замечательный факт был обнаружен и доказан в 18-м в. великим математиком Эйлером: для любого выпуклого многогранника справедливо равенство: Г – Р + В = 2.
Ты можешь проверить справедливость этого соотношения для призм и пирамид, для правильных многогранников. Впрочем, как было недавно обнаружено, теорема Эйлера была известна великому французскому математику Декарту, жившему раньше, а Эйлер не знал об этом и заново открыл эту теорему.
Выпуклые многогранники изучают и в кристаллографии — науке о кристаллах. В начале 20-го в. русский кристаллограф и геометр Е. Федоров доказал, что существует лишь 230 форм многогранников, которые могут описывать различные кристаллы, т. е. таких многогранников, которыми, прикладывая их друг к другу, можно заполнить большую область пространства. И хотя тогда было получено лишь около половины федоровских многогранников, суще- ствовавших в виде различных кри- сталлов, впоследствии были открыты все 230 видов кристаллов. И сейчас федоровские группы и многогранники во всем мире признаются научной основой кристаллографии.