Любая точка на земном эллипсоиде вполне определена если известны ее два основных параметра: широта – «В» и долгота «L» (геодезические координаты). Введем следующие определения «В и L».
Широта (В) (геодезическая) – есть угол, образованный нормалью к поверхности земного эллипсоида в данной точке и плоскостью его экватора;
Долгота (L) (геодезическая) – двугранный угол между плоскостью начального меридиана и плоскостью меридиана данной точки.
Эллипсоид вращения, геодезические координаты
X – ось абсцисс; Y – ось ординат; Z – ось аппликат;
X,Y,Z – трехосный эллипсоид вращения;
O – нульпункт; Q – точка;
L0 – начальный геодезический меридиан;
L – геодезический меридиан точки Q;
Qd – отвесная линия к поверхности эллипсоида;
B – геодезическая широта точки Q;
L – геодезическая долгота точки Q
P.S. Линии меридианов получают рассекая эллипсоид плоскостями, проходящими через полярную ось;
Линии параллелий получают рассекая эллипсоид плоскостями перпендикулярно оси вращения Земли (полярной оси).
Параллели и меридианы на земном эллипсоиде, шаре, глобусе образуют сетку, называемую географической.
Ниже приведем основные радиусы эллипсоида вращения:
М – радиус кривизны меридиана;
N – радиус кривизны первого вертикала (первый вертикал – линия, получаемая сечением эллипсоида плоскостью, проходящей через нормаль в данной точке и перпендикулярно плоскости меридиана).
R - средний из радиусов всевозможных сечений, проведенных через нормаль в данной точке эллипсоида;
r – радиус параллели.
Нижеследующие формулы позволяют производить вычисления указанных радиусов.
М = а(1 - е2) / (1 –еL2sin2В) 3/2 (16)
N = а / √(1 – е2sin2В) (17)
R = √М N (18)
r = N cos В (19)
P.S. (1). Заметим, что радиус М у полюса больше, чем на экваторе. Из этого следует, что кривизна меридианного эллипса убывает от экватора к полюсам.
P.S. (2). Радиус меридиана большие изменения получит на средней широте, где с каждым 10 широты он изменяется примерно на 1 км.
Радиус М необходим при расчетах и определении длин дуг меридианов, широт по этим дугам. Радиус R применяют при решении вопросов развертывания поверхности эллипсоида на плоскость сферы.
Значения радиусов эллипсоида на разных широтах отличны друг от друга.
При создании и использовании карт приходится определять длины дуг параллелий и меридианов.
P.S. Параллель – окружность длиной Sр между двух точек с долготами L1 и L2 определяется по формуле
Sр = τ (L2 - L1) (20)
Меридиан - эллипс, его длины дуг определяются более сложными вычислениями, при этом сравнительно короткие дуги, расположенные между двумя параллелями с широтами В1 и В2 вычисляют так:
находят среднюю широту Вm = (В1 + В2)/ 2, (21)
далее определяют радиусы кривизны меридианов М1, М2 и Мm; затем вычисляют длину дуги меридиана Sm.
Sm = Mm (B2 – B1) (22)
Sm = [(M1 + 4Mm + M2) (B2 – B1)] / 6 (23)
P.S. Погрешность формулы (22) составляет менее 1 мм для дуг длиной до 45 км; 3 см - на 100 км длины; по формуле (23) длины дуг до 500 км определяются с точностью до ≈ 2 см.