Геометрия — важный раздел матема- тики. Ее возникновение уходит в глубь тысячелетий и связано прежде всего с развитием ремесел, культуры, искусств, с трудовой деятельностью человека и наблюдением окружающего мира. Об этом свидетельствуют названия геометрических фигур. Например, название фигуры «трапеция» происходит от греческого слова «трапезион» (столик), от которого произошли также слово «трапеза» и другие родственные слова. От греческого слова «конос» (сосновая шишка) произошло название «конус», а термин «линия» возник от латинского «линум» (льняная нить).
И факты геометрии сначала имели опытное происхождение. Еще 5 тыс. лет назад древние египтяне знали, что если сделать на веревке 12 узелков на равных расстояниях и натянуть ее в форме треугольника, то получится прямой угол. И это было очень важно для правильной разметки плодородных земель в долине Нила. В египетских папирусах и вавилонских клинописных таблицах того времени мы находим другие геометрические факты, найденные опытным путем при измерении земельных участков, постройке зданий и т.д.
А в 5-м в. до н.э. произошел решительный поворот в развитии геометрии. И связан он с именем Фалеса, уроженца города Милет. Этот купец в свободное время занимался математикой. И сделал величайшее открытие: обнаружил, что многие геометрические закономерности можно получать не опытным путем, а с помощью рассуждения (доказательства). Вот некоторые факты, подмеченные Фалесом.
На рисунке 3 изображены вертикальные углы. Если повернуть плоскость вокруг точки О на 180 , то луч О А перейдет в ОС, а луч OВ — в луч OD. Следовательно, угол 1 совместится с углом 2, и поэтому они равны. Равенство вертикальных углов — одна из теорем, доказанных Фалесом.
Вот еще пример. На рисунке 2 прямые а и b параллельны. Если чертеж повернуть на 180 вокруг середины отрезка АВ, то отрезок ОА перейдет в OВ, а прямая а — в параллельную ей прямую, т. е. в прямую b. Следовательно, угол 1 перейдет в угол 2, и потому эти углы равны. Это формулируют так: накрест лежащие углы, получающиеся при пересечении двух параллельных прямых третьей прямой, равны.
Фалес доказал и ряд других теорем. Благодаря его открытию геометрия к 3- му в. до н. э. становится наукой, в которой имеется небольшое число аксиом (первоначальных предположений), а все остальные факты (теоремы) устанавливаются с помощью доказательств.
За Фалесом большой вклад в развитие геометрии внесли Евдокс, Евклид, Архимед.
И, вообще, говоря словами великого итальянского ученого Г. Галилея, «геометрия является самым могу- щественным средством для изощрения наших умственных способностей и дает нам возможность правильно мыслить и рассуждать».
Если намотать вплотную (в виде спирали) веревку сначала на полусферу, а затем свернуть ее внутри круга такого же радиуса (рисунок), то окажется, что для полусферы нужна веревка вдвое длиннее. Это показывает, что площадь полусферы в два раза больше круга. Конечно, это не доказательство, а лишь опытное подтверждение данного факта. Но греческие ученые нашли и математи- ческое доказательство.
Древнегреческий ученый Эратосфен с помощью геометрии измерил длину окружности земного шара. Он обнаружил, что, когда Солнце стоит в Сиене (Африка) над головой, в Александрии, расположенной в 800 км, оно отклоняется от вертикали на 7 . Эратосфен заключил, что из центра Земли Солнце видно под углом 7 и, сле- довательно, окружность земного шара равна 360:7 х 800=41 140 км.
Свыше двух тысячелетий Евклид, давший особенно удачное и стройное изложение геометрии, был непрере- каемым законодателем в этой области математики. Немецкий философ И. Кант считал геометрию Евклида единственно возможной.
Было, однако, место в евклидовом изложении геометрии, которое не удовлетворяло математиков. Это единственность параллельной к данной прямой, которую можно провести в плоскости через данную точку А. Евклид считал это положение аксиомой, некоторые математики пытались доказать этот факт как теорему. Однако проходили века, а доказательства найти не удалось. Решил загадку параллельности профессор Казанского университета Н. И. Лобачевский, который опубликовал свое открытие в 1826 г. Несколько позже к тем же выводам пришли венгерский математик Янош Бояи и немецкий «король математики» К. Гаусс. Эти ученые установили, что единственность параллельной невозможно доказать как теорему. Ведь если допустить возможность провести через точку более одной прямой, не пересекающейся с данной, то мы придем к другой геометрии, неевклидовой, в которой, однако, не будет никаких противоречий. Эту геометрию называют сегодня геометрией Лобачевского.
Заменив аксиому параллельности противоположным утверждением (при сохранении остальных аксиом Евклида), мы придем к новой геометрии, которая во многом не согласуется с нашими привычными наглядными представлениями, но тем не менее не содержит никаких логических противоречий. Все трое ученых не только были убеждены в справедливости этой идеи, но и доказали десятки теорем неевклидовой геометрии. Особенно существенно развил ее Лобачевский.
В геометрии Лобачевского сумма углов любого треугольника меньше 180 . Два перпендикуляра к одной прямой все дальше отходят друг от друга. И еще много фактов есть в этой геометрии, не похожих на те, о которых говорится в школьных учебниках. И все же никаких противоречий в этой геометрии нет. А вскоре математики открыли много других геометрий. И все они нужны. А евклидова геометрия, которую изучают в школе, — самая простая из всех и в то же время самая нужная.
Геометрические знания широко применяются в жизни — в быту, на производстве, в науке. При покупке обоев надо знать площадь стен комнаты; при определении расстояния до предмета, наблюдаемого с двух точек зрения, нужно пользоваться известными вам теоремами; при изготовлении технических чертежей — выполнять геометрические построения. И если ты, юный читатель, хорошо изучил курс геометрии, то не останешься безоружным, когда при решении практических задач потребуется при- менить геометрические теоремы или формулы.
Подробно о геометрии читайте в книге: Депман И. Я. Мир чисел. Л.: Дет. лит., 1982. С. 14—21, 34-46.