Математическая подготовка учителя начальных классов включает овладение умениями теоретического обоснования арифметических действий над натуральными числами. В настоящее время в вузах рассматриваются три подхода к введению понятия «натуральное число» – аксиоматический, теоретико-множественный и натуральное число, как мера измерения величины. Неоднозначность толкования понятия порождает специфику рассуждений при выполнении арифметических действий.
Используемые для обучения студентов пособия, в том числе «Задачник-практикум по математике» Н.Н. Лавровой и Л.П. Стойловой
1985 года издания, содержат упражнения по закреплению теоретических знаний о натуральных числах. Как правило, эти упражнения не нацелены на выявление особенностей рассуждений при выполнении арифметических действий. Большей частью практические задания связаны с законами арифметических действий в аксиоматическом подходе. Теоретико-множественный смысл арифметических операций раскрывается, главным образом, при решении текстовых задач, но не примеров. То же самое можно сказать и о третьем подходе к введению понятия «натуральное число».
Немного улучшают ситуацию упражнения учебника «Математика» Л.П. Стойловой, которые содержат задания по нахождению значений выражений, используя определения арифметических операций. Однако при этом студенты не «вживаются» в особенности построения множества натуральных чисел и плохо понимают смысл арифметических операций в различных подходах к введению понятия «натуральное число».
В настоящей работе представлен наш опыт по обучению студентов схемам рассуждений при выполнении арифметических действий, порождаемые особенностями введения понятия «натуральное число», приведены рассуждения о целесообразности использования таких схем в процессе подготовки учителей начальных классов.
Аксиоматический подход. Натуральное число рассматривается как элемент некоторого непустого множества, на котором задано отношение «непосредственно следовать за», обладающее наперед заданными основными свойствами, описанными аксиомами.
Арифметические операции сложения и умножения определяются как алгебраические. Под сложением натуральных чисел понимают алгебраическую операцию, определенную на множестве натуральных чисел и для любых двух натуральных чисел обладающую свойствами: 1)
a + 1 = a? ; 2)
a + b' = (a + b)' . Под умножением также понимают алгебраическую операцию, определенную на множестве натуральных чисел и обладающую свойствами: 1)
a ? b' = a ? b + a .
a ?1 = a ; 2)
Операции вычитания и деления понимают как обратные, соответственно, операциям сложения и умножения.
Такой подход при введении понятия натуральное число порождает характерную для него схему рассуждений. Рассмотрим примеры.
1) 4+3=? К числу 4 надо прибавить число, непосредственно следующее за числом 2, число 2 непосредственно следует за числом 1,
сумма чисел 4 и 1 равна числу, непосредственно следующему за числом 4, т. е. 5, за числом 5 непосредственно следует число 6, за числом 6 – число 7, т.е. 4+3=7. При выполнении сложения мы опирались на понятие натурального числа, определение сложения, использовали обозначения чисел, непосредственно следующих за данными. Краткая запись рассуждений:
4 + 3 = 4 + 2'= (4 + 2)'= (4 +1')'= ((4 +1)')'= (5')'= 6'= 7 .
2) Подобные рассуждения выполняются при умножении, при этом действии студенты опираются на понятие натурального числа, определение умножения, обозначение чисел, непосредственно следующих за данными, а также рассуждения, выполняемые при сложении натуральных чисел. Краткая запись:
5 ? 3 = 5 ? 2' = 5 ? 2 + 5 = 5 ?1'+5 = (5 + 5) + 5 = ... = 10 + 5 = 15 .
3) 6 4 =?. Найти разность – значит найти такое натуральное число, которое в сумме с вычитаемым дает уменьшаемое.
гда число 1 не является искомой разностью.
4 + 1 ? 6 . То4 + 2 = 4 + 1' = (4 + 1)'= 5' = 6 (!). Искомая разность равна 2.
4) Найти значение выражения 6 : 2 . Как и вычитание, операция деления является обратной операции умножения. Нахождение частного сводится к поиску такого натурального числа, которое при умножении на делитель 2 даст делимое 6.
2 ? 2 = 2 ?1' = 2 ?1 + 2 = 2 + 2 = 2 + 1' = (2 + 1)' = 3' ? 6 . Число 2 не может быть искомым частным. Следующее натуральное число – 3. Рассмотрим умножение
2 ? 3 = 2 ? 2' = 2 ? 2 + 2 = 4 + 2 = 4 + 1' = (4 + 1)'= 5' = 6 (!). Произведение оказалось равным делимому. Значит, искомое частное равно 3.
На наш взгляд есть необходимость обучения студентов использованию таких схем, т.к. они фактически используются в начальной школе. Например, в учебнике «Математика» авторского коллектива И.И. Аргинской, Е.П. Бенесон, Л.С. Итиной (2008) в первом классе натуральный ряд используется для нахождения суммы или разности двух однозначных чисел. Например, процесс нахождения суммы 5+4 иллюстрирует следующая диаграмма:
Теоретико-множественный подход. Натуральное число рассматривается как количественная характеристика класса непустых конечных равномощных множеств. Общим свойством такого класса множеств является их равночисленность. Количественную характеристику множества получают путем пересчета его элементов. Произвольный элемент множества называют «первым», далее, используя правила пересчета, называют «вторым» следующий элемент и т. д. Пересчет элементов конкретных множеств ведет к образованию отрезков натурального ряда Na. Последнее порядковое число a, полученное при пересчете, и есть количественная характеристика множества, т.е. число элементов. Если обозначить буквой А некоторое конкретное непустое конечное множество, то натуральное число как количественную характеристику этого множества записывают a=n(А).
Под суммой двух натуральных чисел понимают число элементов объединения двух непустых конечных множеств. Т. е., если aколичественная характеристика множества А, а b множества B, то a+b – это количественная характеристика объединения множеств А и В, a+b = n(A U B).
Под разностью двух натуральных чисел понимают количественную характеристику разности двух множеств непустых конечных множеств, причем одно из множеств является подмножеством другого. Если a количественная характеристика непустого конечного множества А, b количественная характеристика непустого конечного множества B, при этом В I А, то a-b – это количественная характеристика разности множеств А и В, a-b = n(A\B). Разность натуральных чисел a и b существует, если А\В непустое множество.
Известны два подхода к пониманию произведения натуральных чисел:
• произведение двух натуральных чисел а и b – это число элементов в объединении b равномощных множеств, каждое из которых содержит а элементов, т. е. а ? b = n( A U A U ... U A) , a = n(A).
• произведение двух натуральных чисел а и b – это число элементов в декартовом произведении двух конечных множеств А и В, т. е. a ? b = n( A ? B) .
Понимание частного двух натуральных чисел также неоднозначно. Частное двух натуральных чисел рассматривают в связи с операцией разбиения непустого конечного множества на равномощные
подмножества. При этом частным может быть: а) число подмножеств разбиения исходного множества; б) число элементов в подмножествах разбиения.
Теоретико-множественный подход при введении понятия «натуральное число» с его своеобразным толкованием арифметических действий порождает своеобразие схем рассуждений при выполнении математических заданий. Такие рассуждения значительно лучше, чем при других подходах к введению понятия «натуральное число», отрабатываются при обучении студентов в вузе. Поэтому в данной работе мы ограничимся одним примером рассуждений, например при умножении 4 ? 2 . Рассмотрим два способа рассуждений.
а) 4 – это количественная характеристика множества А. А=
{q,r,t,p}; 2 – это число множеств, равномощных множеству А. A1=
{q1,r1,t1,p1} и А2={q2,r2,t2,p2};
4 ? 2 – это количественная характеристика объединения множеств А1 и А2.
А1 U А2 = {q1,r1,t1,p1,q2,r2,t2,p2}. Последнее множество допускает взаимно однозначное отображение на отрезок натурального ряда N8. Значит, произведение равно 8.
б) 4 – это количественная характеристика множества А. А={q,r,t,p}; 2
– это количественная характеристика множества В. В={c,d};
4 ? 2 – это количественная характеристика декартова произведения множеств А и В.
A? B ={(q,c),(r,c),(t,c),( p,c),(q, d),(r,d),(t,d),( p, d)}. Декартово произведение указанных множеств допускает взаимно однозначное отображение на отрезок натурального ряда N8. Это значит, что искомое произведение равно 8.
Натуральное число как мера измерения величины. При этом подходе натуральное число рассматривается как мера некоторой величины при выбранной единице ее измерения. В качестве конкретной величины можно рассматривать длину отрезков, т. е. натуральное число – это мера длины какого-либо отрезка при выбранной единице измерения. Выбранная единица измерения – это мерка. Обозначения: a, b, c…– натуральные числа, Е, е – единицы измерения, m – обозначение меры. Выбранный единичный отрезок PQ выступает в роли мерки Е. Натуральное число а, полученное в результате измерение отрезка АВ меркой Е, записывают следующим образом: а=mE(AB). 1=mE(PQ).
Рассмотрим смысл арифметических операций, полученных в результате измерения величин (длин отрезков).
1. Под суммой двух натуральных чисел a+b, где а=mE(AB), b=mE(BC), понимают меру длины отрезка, равного сумме отрезков АВ и ВС, при той же единице измерения Е. a+b=mE(AB+DC)
=mE(AC) .
2. Если натуральные числа рассматриваются как меры длин отрезков, т. е. а=mE(AB), b=mE(BC), то под разностью двух натуральных
чисел a-b (a>b) понимают меру длины разности отрезков АВ и ВС (АВ>ВС). при выбранной единице измерения Е. a-b=mE(ABBC)=mE(AC).
3. Рассмотрим смысл произведения двух натуральных чисел a и b.
Натуральное число a – это мера отрезка АВ (а=mE(AB)), натуральное число b – мера единичного отрезка PQ при более мелкой единице измерения (b=meE, больший единичный отрезок PQ разделили на b равных отрезков P’Q’). Под произведением натуральных чисел a и b понимают меру длины отрезка АВ при переходе от единицы измерения Е к более мелкой единице измерения е.
a?b = mE (AB)? me(PQ) = me(AB) .
4. Деление натуральных чисел рассматривается как операция обратная умножению. Под частным a:b понимают меру величины при переходе к более крупной единице измерения.
a : b = me ( AB) : me ( PQ) = mE ( AB) ,
a = mE ( AB) ? me ( PQ) .
Рассмотрим схемы рассуждений при выполнении конкретных арифметических действий.
1) 4+2=? 4 – это мера отрезка АВ при выбранной единице измерения Е, 4=mE(AB). 2 – это мера отрезка ВС при этой же единице измерения, 2=mE(BC). 4+2 – это мера длины суммы двух отрезков (АВ+ВС) при той же единице измерения, 4+2=mE(AC). Рис. 1. поясняет произведенные рассуждения. Отрезок АС вмещает 6 единичных отрезков Е. Искомая сумма равна 6.
2) 5-3=? . 5 – это мера отрезка АВ при выбранной единице измерения
Е, 5=mE(AB).3 – это мера отрезка ВС при этой же единице измерения,
3=mE(BC). 5–3 – это мера длины разности двух отрезков (АВ-ВС) при той же единице измерения Е, 5-3=mE(AС). Рис. 2. иллюстрирует рассуждения.
Отрезок АС вмещает 2 единичных отрезка Е. Следовательно, искомая разность равна 2.
3). 4 ? 2 =? Рассмотрим смысл компонентов и результата действия.
4). Рассуждения при выполнении деления натуральных чисел обратные рассуждениям при выполнении умножения. Рассмотрим пример деления 8:2. 8 – это мера отрезка АВ при выбранной единице измерения е, 8=me(AB). Укрупняем единицу измерения. 2 – это мера отрезка Е, 2=meE, где Е более крупная единица измерения. 8:2 – это мера длины отрезка АВ при переходе к более крупной единице измерения,
8:2=mE(AB).
Таким схемам рассуждений также надо учить студентов на занятиях по математике при прохождении темы «Натуральное число»,
т.к. они есть в школьной математике. Например: учебник математики
1 кл. А.М. Захарова, Т.И. Фещенко. 1995.: Попробуй решить с помощью числовой прямой такой пример 7+2. Построй числовую прямую. Отложи на ней число 7.
Длительность курса обучения основам математике в вузе не позволяет студентам «прочувствовать» различие специфики рассуждений при различных подходах к введению понятия «натуральное число». Для этого необходимы обобщающие занятия после прохождения соответствующей темы основного курса математики. В нашем вузе такие занятия мы проводим на факультативном курсе «Практикум по математике» в седьмом и восьмом семестрах. Результатом такой работы являются четкие ответы наших студентов на государственном экзамене по математике.
Библиографические ссылки
1. Финаров Д.П. Словарь школьника по физической географии. – М. 2003.
Используемые для обучения студентов пособия, в том числе «Задачник-практикум по математике» Н.Н. Лавровой и Л.П. Стойловой
1985 года издания, содержат упражнения по закреплению теоретических знаний о натуральных числах. Как правило, эти упражнения не нацелены на выявление особенностей рассуждений при выполнении арифметических действий. Большей частью практические задания связаны с законами арифметических действий в аксиоматическом подходе. Теоретико-множественный смысл арифметических операций раскрывается, главным образом, при решении текстовых задач, но не примеров. То же самое можно сказать и о третьем подходе к введению понятия «натуральное число».
Немного улучшают ситуацию упражнения учебника «Математика» Л.П. Стойловой, которые содержат задания по нахождению значений выражений, используя определения арифметических операций. Однако при этом студенты не «вживаются» в особенности построения множества натуральных чисел и плохо понимают смысл арифметических операций в различных подходах к введению понятия «натуральное число».
В настоящей работе представлен наш опыт по обучению студентов схемам рассуждений при выполнении арифметических действий, порождаемые особенностями введения понятия «натуральное число», приведены рассуждения о целесообразности использования таких схем в процессе подготовки учителей начальных классов.
Аксиоматический подход. Натуральное число рассматривается как элемент некоторого непустого множества, на котором задано отношение «непосредственно следовать за», обладающее наперед заданными основными свойствами, описанными аксиомами.
Арифметические операции сложения и умножения определяются как алгебраические. Под сложением натуральных чисел понимают алгебраическую операцию, определенную на множестве натуральных чисел и для любых двух натуральных чисел обладающую свойствами: 1)
a + 1 = a? ; 2)
a + b' = (a + b)' . Под умножением также понимают алгебраическую операцию, определенную на множестве натуральных чисел и обладающую свойствами: 1)
a ? b' = a ? b + a .
a ?1 = a ; 2)
Операции вычитания и деления понимают как обратные, соответственно, операциям сложения и умножения.
Такой подход при введении понятия натуральное число порождает характерную для него схему рассуждений. Рассмотрим примеры.
1) 4+3=? К числу 4 надо прибавить число, непосредственно следующее за числом 2, число 2 непосредственно следует за числом 1,
сумма чисел 4 и 1 равна числу, непосредственно следующему за числом 4, т. е. 5, за числом 5 непосредственно следует число 6, за числом 6 – число 7, т.е. 4+3=7. При выполнении сложения мы опирались на понятие натурального числа, определение сложения, использовали обозначения чисел, непосредственно следующих за данными. Краткая запись рассуждений:
4 + 3 = 4 + 2'= (4 + 2)'= (4 +1')'= ((4 +1)')'= (5')'= 6'= 7 .
2) Подобные рассуждения выполняются при умножении, при этом действии студенты опираются на понятие натурального числа, определение умножения, обозначение чисел, непосредственно следующих за данными, а также рассуждения, выполняемые при сложении натуральных чисел. Краткая запись:
5 ? 3 = 5 ? 2' = 5 ? 2 + 5 = 5 ?1'+5 = (5 + 5) + 5 = ... = 10 + 5 = 15 .
3) 6 4 =?. Найти разность – значит найти такое натуральное число, которое в сумме с вычитаемым дает уменьшаемое.
гда число 1 не является искомой разностью.
4 + 1 ? 6 . То4 + 2 = 4 + 1' = (4 + 1)'= 5' = 6 (!). Искомая разность равна 2.
4) Найти значение выражения 6 : 2 . Как и вычитание, операция деления является обратной операции умножения. Нахождение частного сводится к поиску такого натурального числа, которое при умножении на делитель 2 даст делимое 6.
2 ? 2 = 2 ?1' = 2 ?1 + 2 = 2 + 2 = 2 + 1' = (2 + 1)' = 3' ? 6 . Число 2 не может быть искомым частным. Следующее натуральное число – 3. Рассмотрим умножение
2 ? 3 = 2 ? 2' = 2 ? 2 + 2 = 4 + 2 = 4 + 1' = (4 + 1)'= 5' = 6 (!). Произведение оказалось равным делимому. Значит, искомое частное равно 3.
На наш взгляд есть необходимость обучения студентов использованию таких схем, т.к. они фактически используются в начальной школе. Например, в учебнике «Математика» авторского коллектива И.И. Аргинской, Е.П. Бенесон, Л.С. Итиной (2008) в первом классе натуральный ряд используется для нахождения суммы или разности двух однозначных чисел. Например, процесс нахождения суммы 5+4 иллюстрирует следующая диаграмма:
Теоретико-множественный подход. Натуральное число рассматривается как количественная характеристика класса непустых конечных равномощных множеств. Общим свойством такого класса множеств является их равночисленность. Количественную характеристику множества получают путем пересчета его элементов. Произвольный элемент множества называют «первым», далее, используя правила пересчета, называют «вторым» следующий элемент и т. д. Пересчет элементов конкретных множеств ведет к образованию отрезков натурального ряда Na. Последнее порядковое число a, полученное при пересчете, и есть количественная характеристика множества, т.е. число элементов. Если обозначить буквой А некоторое конкретное непустое конечное множество, то натуральное число как количественную характеристику этого множества записывают a=n(А).
Под суммой двух натуральных чисел понимают число элементов объединения двух непустых конечных множеств. Т. е., если aколичественная характеристика множества А, а b множества B, то a+b – это количественная характеристика объединения множеств А и В, a+b = n(A U B).
Под разностью двух натуральных чисел понимают количественную характеристику разности двух множеств непустых конечных множеств, причем одно из множеств является подмножеством другого. Если a количественная характеристика непустого конечного множества А, b количественная характеристика непустого конечного множества B, при этом В I А, то a-b – это количественная характеристика разности множеств А и В, a-b = n(A\B). Разность натуральных чисел a и b существует, если А\В непустое множество.
Известны два подхода к пониманию произведения натуральных чисел:
• произведение двух натуральных чисел а и b – это число элементов в объединении b равномощных множеств, каждое из которых содержит а элементов, т. е. а ? b = n( A U A U ... U A) , a = n(A).
• произведение двух натуральных чисел а и b – это число элементов в декартовом произведении двух конечных множеств А и В, т. е. a ? b = n( A ? B) .
Понимание частного двух натуральных чисел также неоднозначно. Частное двух натуральных чисел рассматривают в связи с операцией разбиения непустого конечного множества на равномощные
подмножества. При этом частным может быть: а) число подмножеств разбиения исходного множества; б) число элементов в подмножествах разбиения.
Теоретико-множественный подход при введении понятия «натуральное число» с его своеобразным толкованием арифметических действий порождает своеобразие схем рассуждений при выполнении математических заданий. Такие рассуждения значительно лучше, чем при других подходах к введению понятия «натуральное число», отрабатываются при обучении студентов в вузе. Поэтому в данной работе мы ограничимся одним примером рассуждений, например при умножении 4 ? 2 . Рассмотрим два способа рассуждений.
а) 4 – это количественная характеристика множества А. А=
{q,r,t,p}; 2 – это число множеств, равномощных множеству А. A1=
{q1,r1,t1,p1} и А2={q2,r2,t2,p2};
4 ? 2 – это количественная характеристика объединения множеств А1 и А2.
А1 U А2 = {q1,r1,t1,p1,q2,r2,t2,p2}. Последнее множество допускает взаимно однозначное отображение на отрезок натурального ряда N8. Значит, произведение равно 8.
б) 4 – это количественная характеристика множества А. А={q,r,t,p}; 2
– это количественная характеристика множества В. В={c,d};
4 ? 2 – это количественная характеристика декартова произведения множеств А и В.
A? B ={(q,c),(r,c),(t,c),( p,c),(q, d),(r,d),(t,d),( p, d)}. Декартово произведение указанных множеств допускает взаимно однозначное отображение на отрезок натурального ряда N8. Это значит, что искомое произведение равно 8.
Натуральное число как мера измерения величины. При этом подходе натуральное число рассматривается как мера некоторой величины при выбранной единице ее измерения. В качестве конкретной величины можно рассматривать длину отрезков, т. е. натуральное число – это мера длины какого-либо отрезка при выбранной единице измерения. Выбранная единица измерения – это мерка. Обозначения: a, b, c…– натуральные числа, Е, е – единицы измерения, m – обозначение меры. Выбранный единичный отрезок PQ выступает в роли мерки Е. Натуральное число а, полученное в результате измерение отрезка АВ меркой Е, записывают следующим образом: а=mE(AB). 1=mE(PQ).
Рассмотрим смысл арифметических операций, полученных в результате измерения величин (длин отрезков).
1. Под суммой двух натуральных чисел a+b, где а=mE(AB), b=mE(BC), понимают меру длины отрезка, равного сумме отрезков АВ и ВС, при той же единице измерения Е. a+b=mE(AB+DC)
=mE(AC) .
2. Если натуральные числа рассматриваются как меры длин отрезков, т. е. а=mE(AB), b=mE(BC), то под разностью двух натуральных
чисел a-b (a>b) понимают меру длины разности отрезков АВ и ВС (АВ>ВС). при выбранной единице измерения Е. a-b=mE(ABBC)=mE(AC).
3. Рассмотрим смысл произведения двух натуральных чисел a и b.
Натуральное число a – это мера отрезка АВ (а=mE(AB)), натуральное число b – мера единичного отрезка PQ при более мелкой единице измерения (b=meE, больший единичный отрезок PQ разделили на b равных отрезков P’Q’). Под произведением натуральных чисел a и b понимают меру длины отрезка АВ при переходе от единицы измерения Е к более мелкой единице измерения е.
a?b = mE (AB)? me(PQ) = me(AB) .
4. Деление натуральных чисел рассматривается как операция обратная умножению. Под частным a:b понимают меру величины при переходе к более крупной единице измерения.
a : b = me ( AB) : me ( PQ) = mE ( AB) ,
a = mE ( AB) ? me ( PQ) .
Рассмотрим схемы рассуждений при выполнении конкретных арифметических действий.
1) 4+2=? 4 – это мера отрезка АВ при выбранной единице измерения Е, 4=mE(AB). 2 – это мера отрезка ВС при этой же единице измерения, 2=mE(BC). 4+2 – это мера длины суммы двух отрезков (АВ+ВС) при той же единице измерения, 4+2=mE(AC). Рис. 1. поясняет произведенные рассуждения. Отрезок АС вмещает 6 единичных отрезков Е. Искомая сумма равна 6.
2) 5-3=? . 5 – это мера отрезка АВ при выбранной единице измерения
Е, 5=mE(AB).3 – это мера отрезка ВС при этой же единице измерения,
3=mE(BC). 5–3 – это мера длины разности двух отрезков (АВ-ВС) при той же единице измерения Е, 5-3=mE(AС). Рис. 2. иллюстрирует рассуждения.
Отрезок АС вмещает 2 единичных отрезка Е. Следовательно, искомая разность равна 2.
3). 4 ? 2 =? Рассмотрим смысл компонентов и результата действия.
4). Рассуждения при выполнении деления натуральных чисел обратные рассуждениям при выполнении умножения. Рассмотрим пример деления 8:2. 8 – это мера отрезка АВ при выбранной единице измерения е, 8=me(AB). Укрупняем единицу измерения. 2 – это мера отрезка Е, 2=meE, где Е более крупная единица измерения. 8:2 – это мера длины отрезка АВ при переходе к более крупной единице измерения,
8:2=mE(AB).
Таким схемам рассуждений также надо учить студентов на занятиях по математике при прохождении темы «Натуральное число»,
т.к. они есть в школьной математике. Например: учебник математики
1 кл. А.М. Захарова, Т.И. Фещенко. 1995.: Попробуй решить с помощью числовой прямой такой пример 7+2. Построй числовую прямую. Отложи на ней число 7.
Длительность курса обучения основам математике в вузе не позволяет студентам «прочувствовать» различие специфики рассуждений при различных подходах к введению понятия «натуральное число». Для этого необходимы обобщающие занятия после прохождения соответствующей темы основного курса математики. В нашем вузе такие занятия мы проводим на факультативном курсе «Практикум по математике» в седьмом и восьмом семестрах. Результатом такой работы являются четкие ответы наших студентов на государственном экзамене по математике.
Библиографические ссылки
1. Финаров Д.П. Словарь школьника по физической географии. – М. 2003.
Источник: А. А. Попова, М. М. Бормотова (г. Челябинск)
Авторское право на материал
Копирование материалов допускается только с указанием активной ссылки на статью!
Информация
Посетители, находящиеся в группе Гости, не могут оставлять комментарии к данной публикации.
Похожие статьи