С детских лет познал все тяготы нищенской жизни – сначала в родном селе Оленинском, а потом и в Ярославле, куда ушел на заработки, – сын крестьянина-бедняка Андрей Бабкин. Работая на ярославских предприятиях, молодой рабочий сблизился с революционерами и сам стал принимать активное участие в митингах, распространять нелегальную литературу.
Продолжал он революционную работу и на службе в Балтийском флоте, куда его призвали в 1913 году. Свободолюбивый по натуре. Бабкин сразу же попал в разряд «поднадзорных», и ему по окончании машинной школы угрожал в Кронштадте арест. Но началась империалистическая война, и вместо тюрьмы Бабкина отправили на фронт, где он пробыл до Февральской революции.
Вернувшись после свержения самодержавия на флот, Андрей Васильевич был назначен машинистом на эскадренный миноносец «Миклухо-Маклай». Команда избрала этого смелого, преданного революции человека председателем судового комитета.
Во время корниловского мятежа Бабкина переводят из Гельсингфорса в Петроград, во 2-й Балтийский флотский экипаж. Матросы и там оказывают ему доверие: избирают председателем экипажного комитета, и Бабкин активно включается в подготовку к вооруженному восстанию. А в дни Октября Андрей Васильевич командует отрядом моряков, который участвовал в штурме Зимнего дворца, выполняет задания Военно-революционного комитета по ликвидации мятежа юнкеров в Петрограде.
В 1918 году партия направляет А. В. Бабкина вместе с В. А. Антоновым-Овсеенко на Южный фронт. В том же году он едет с Н. Г. Маркиным в Нижний Новгород и участвует в создании Волжской военной флотилии.
Последняя должность А. В. Бабкина – начальник машинной школы Черноморского флота. Умер он в 1924 году от туберкулеза.