Окружности вычерчивают циркулем. Это, после прямых, самые простые линии. Из дуг окружностей можно составить красивые узоры и орнаменты . Все радиусы окружности равны между собой, подобно спицам в колесе, — и это ее основное свойство ( рис.1). Если перегнуть окружность по прямой, проходящей через ее центр, то обе ее половинки совпадут (рис.2). Это замечательное свойство окружности называется симметрией. Любая прямая, проходящая через центр окружности, является ее осью симметрии.
Возьмем две окружности, располо- женные одна вне другой, и начнем их сближать . Наступит момент, когда они будут иметь только одну общую точку. Это будет, когда расстояние между центрами окружностей равно сумме радиусов. В этом случае говорят, что окружности касаются друг друга внешним образом (рис. 3,а). При дальнейшем сближении окружности будут иметь две общие точки, а между ними образуется фигура, которую можно назвать «чечевицей» (рис. 3,б). Потом наступит момент, когда окружности снова будут иметь только одну общую точку, но теперь одна из них будет внутри другой. Это произойдет, когда расстояние между центрами окружностей равно разности радиусов (рис. 3,в). В этом случае говорят, что окружности касаются друг друга внутренним образом. В дальнейшем одна окружность будет находиться внутри другой. А в самый последний момент окружности будут иметь общий центр; такие окружности называют концентрическими (рис. 3,г).
Таким же способом можно описать взаимное расположение прямой и окружности. Возьмем две перпенди- кулярные прямые — горизонтальную и вертикальную . Теперь возьмем окружность и будем приближать ее к вертикальной прямой, перемещая центр окружности влево по горизонтальной прямой. Наступит момент, когда окружность будет иметь с вертикальной прямой только одну общую точку, или, как говорят, будет касаться этой прямой (рис. 4,а). Радиус окружности, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. При дальнейшем перемещении центра окружности влево вертикальная прямая будет иметь с окружностью две общие точки, а прямая будет отсекать от окружности сегмент (рис. 4,б). Наконец, когда центр окружности придет в точку пересечения прямых, вертикальная прямая будет осью симметрии окружности. При дальнейшем движении центра окружности влево все повторится в обратном порядке.
Фигура, ограниченная окружностью, называется кругом . С глубокой древности математики интересовались вопросом: как найти площадь круга? Ясно, что круг радиуса r расположен в квадрате со стороной 2r (рис. 5а).
Великий древнегреческий математик Архимед установил, что площадь круга радиуса r равна рr2, где р — некоторое число, заключенное между 3 10/11 и 3 1/7 . При записи в десятичных дробях это даст, что р ? 3,14. Сейчас это архимедово приближение (очень удобное при практических вычислениях) намного улучшено. Математик Шенкс вычислил в прошлом столетии 707 десятичных знаков числа р, потратив на это многие годы жизни (причем после 519-го знака в его вычисления вкрались ошибки). А сейчас компьютер за несколько часов работы находит 500 тыс. знаков числа р.
С площадью круга связаны многие интересные математические факты. Отметим некоторые из них. Еще древние греки знали одно замечательное свойство круга: из всех фигур, имеющих одинаковую длину периметра, наибольшую площадь имеет круг. Иначе говоря, если мы имеем замкнутую нерастяжимую нить и хотим расположить ее на плоскости так, чтобы она охватила внутри себя наибольшую площадь, то нужно расположить нить по окружности.
С этим свойством круга связана еще одна интересная задача. На плоскости начерчена прямая; кроме того, имеется нерастяжимая нить (незамкнутая) определенной длины. Как надо расположить эту нить на плоскости, приложив ее концами к двум каким-либо точкам прямой, чтобы вместе с прямой она ограничила фигуру наибольшей площади? Задача эта дошла до нас вместе с интересным преданием. Царица Дидона разрешила людям построить город «в пределах воловьей шкуры». Шкуру разрезали на узкие ремни и, соединив их, получили очень длинную нить. Теперь нужно было расположить эту нить так, чтобы вместе с морским берегом (прямолинейным) охватить наибольшую площадь для постройки города. Ответом является полукруг.
О свойствах данных фигур читайте в книге: Депман И. Я. Мир чисел: Рассказы о математике. М.: Дет. лит., 1982. Гл. «Вавилон». С. 24—29.