Земную поверхность нельзя развернуть на плоскости, поэтому то или иное изображение земной поверхности или некоторой части ее на плоскости будет иметь искажения и длин, и углов, и площадей.
Наиболее подобное изображение земной поверхности дает глобус. На глобусе сохраняется подобие фигур, отношение длин линий и величин площадей.
Глобус дает представление о Земле, как о планете. На нем наглядно изображены суша и водные пространства по этим изображениям можно судить о их взаимном расположении и площади.
Построение первых глобусов относится к глубокой древности. Древний картограф Птолемей в своей книге «География» дает первое описание правил построения глобуса.
До наших дней сохранились два глобуса, построенные арабскими картографами в XIII веке. Один из них хранится в Италии, другой – в Германии.
Особенно большое распространение получили глобусы после открытия Колумбом Америки (1492 год). Началась эпоха крупных географических открытий и кругосветных плаваний. Было практически доказано, что Земля имеет форму шара.
В Нюрнбергском музее хранится глобус Мартина Бехайма (1459–1500 гг.), который при его жизни называли «яблоком Земли».
В XVII веке было стремление изготавливать глобусы больших размеров. Один из таких глобусов был изготовлен в 1913 году в Германии Омарием и Бушем и имел диаметр 3,5 метра.
На всемирной выставке в Париже в 1889 году был представлен глобус, имевший диаметр 12, 75 метра и весивший 10 тонн.
Начиная с XIX века получили распространение учебные глобусы небольшого размера. В настоящее время для школ выпускаются глобусы диаметром от 10,2 до 50,8 см.
Глобус является прекрасным учебным пособием, но не может служить для детального изучения отдельных стран и решения на нем инженерных и научных задач.
Например, если диаметр Земли принять с округлением 12 740 км, то на глобусе диаметром в 50,8 см масштаб изображения будет равен (с округлением) 1:25 000 000. При таком масштабе глобуса мелкие подробности изображать нельзя.
«Изучение различных способов изображения земной поверхности на плоскости и составляет предмет математической картографии. А само изображение земной поверхности на плоскости мы будем называть картографической проекцией или просто картой»[1]
Подробное изображение отдельных территорий, областей и государств можно дать только на карте, на которую географические элементы переносятся с земного эллипсоида искусственными приемами.
Сферическая поверхность Земли относится к числу таких поверхностей, которую нельзя развернуть в плоскости без разрывов и складок. Чтобы получить сплошное изображение земной поверхности с наименьшими искажениями, в картографии пользуются условными построениями, которые принято называть картографическими проекциями.
В общем случае эта задача решается так. Сначала с эллипсоида переносят на плоскость (карту) линии меридианов и параллелей, т.е. картографическую сетку, а после этого, пользуясь сеткой переносят на плоскость географические элементы.
Очень наглядно эту задачу можно решить с помощью обычного глобуса. Для этого поступим так. Вырежем по меридианам из поверхности глобуса три узких полоски так, чтобы их можно было развернуть на плоскость. Эти полосы называют двугольниками или фюзо.
Полоски распластаем и соединим их по линии экватора. Левый рисунок не является картой, он имеет разрывы, а карта должна непрерывное изображение. Чтобы получить карту произведем равномерное растяжение двугольников. Растяжение пойдет параллельно экватору, т.е. по параллелям. Края соседних полосок представляют собой один и тот же меридиан. Двигаясь навстречу друг другу они сольются посередине в прямую линию и по длине будут равны средним меридианам. После растяжения полосок получится карта участка, вырезанного с глобуса.
Из рисунка видно, что сплошное изображение на карте получилось в результате равномерного растяжения параллелей, которые стали равны длине экватора. Таким образом, масштабы на всех параллелях получились разные. Только экватор сохранил свою длину.
Экватор и меридианы остались той же длины, а параллели испытали растяжение. Об искажениях на карте удобно судить путем сопоставления глобуса и карты. На глобусе имеются северный и южный полюсы, на карте их нет. Все меридианы сближаются к полюсам и длины их одинаковы. Расстояния между меридианами на одной и той же параллели равны. Расстояние между параллелями равны между собой.
Криволинейные трапеции, составленные меридианами и параллелями на одной и той же широте одинаковы по площади, но заметно уменьшаются от экватора к полюсам.
На карте все меридианы, хотя и сохранили свою длину, но расстояние между ними стало одинаковым от экватора до края изображения. Расстояние между параллелями сохранились и тоже равны между собой.
Все криволинейные трапеции, ограниченные крайними меридианами полосок, превратились в прямоугольники одинакового размера.
Из сказанного выше можно сделать следующие выводы:
1. При проектировании земной поверхности на плоскость изображение должно быть непрерывным без разрывов.
2. Каждой точки земной поверхности на плоскости должна соответствовать только одна точка.
Выполнив растяжение или сжатие изображения, нарушают геометрические свойства фигур земной поверхности.
Фигуры Земли имеют следующие геометрические свойства: площадь, форму, углы между линиями очертания и длину ее элементов.
Все геометрические свойства при переходе от сферической поверхности Земли к проекции, в общем случае нарушаются, что приводит к искажениям. Все искажения можно разделить на четыре вида:
а) искажения длин;
б) искажения площадей;
в) искажения углов;
г) искажения форм.
При искажении длин масштаб на карте меняется с переменной места и направления. Это затрудняет измерение длин географических объектов на карте, расположенных в разных частях карты или расположенных по разным направлениям.
Искажения площадей состоит в том, что масштаб площади на карте в разных местах разный. Это сильно усложняет задачу определения площади как отдельных фигур, так и сравнения их между собой.
Искажения углов заключается в том, что углы на карте не равны углам на местности.
Искажения фигур состоит в том, что фигуры карты не подобны соответствующим фигурам на земной поверхности.
Рассмотрим три вида искажений более подробно.