Главная задача математической картографии состоит в том, чтобы изобразить сферическую поверхность Земли с наименьшими искажениями. Над решением этой задачи ученые работают много веков.
Картографические проекции принято классифицировать по двум независящим друг от друга признакам:
1. По характеру искажений;
2. По виду меридианов и параллелей (способу построения).
При переходе от сферической поверхности Земли к проекции (карте) происходят искажения площадей, углов, форм и длин.
Если построить проекции, свободные от искажения углов, то будут сильно искажены площади. Если построить проекции, свободные от искажения площадей, то будут сильно искажены углы и формы.
На географических картах невозможно сохранить формы очертания материков, океанов, морей, островов и т.п. Они всегда искажены.
От искажения длин можно избавиться частично, построив сетку, в которой масштаб будет сохраняться по каким-нибудь линиям, например, по меридианам, или по всем прямым, идущим от центра карты.
По всем линиям на карте сохранить один и тот же масштаб нельзя.
По характеру искажений проекции делятся на три группы:
1. равноугольные или конформные;
2. равновеликие или эквивалентные;
3. произвольные.
Рассмотрим каждую из них в отдельности.
1.Равноугольными или конформными проекциями называют такие, которые не искажают углов, но искажают площади и линии.
Условие равноугольности выражается следующими данными:
а = в = m = n = μ – масштабы длин в данной точке равны по всем направлениям;
ω = 0 – угловых искажений нет;
Р = μ2 – масштаб площади равен произведению масштабов по главным направлениям, но так как они равны, то масштаб площади равен квадрату масштаба длин.
В этой проекции сохраняется подобие бесконечно малых фигур.
Элементарный кружок эллипсоида изобразится кружком, но отличным по площади при переходе из точки в точку.
Название равноугольные происходит от того, что в подобных фигурах, соответственные углы длин равны между собой.
На этом рисунке показаны искажения в равноугольной проекции. Главный масштаб сохраняется на параллели в 500. На этой параллели кружки на проекции по своей площади равны кружкам на проекции по своей площади равны кружкам на эллипсоиде.
Из рисунка видно, что при удалении кружков от параллели в 500, т.е. от главного масштаба, искажения длин и площадей увеличиваются и площади кружков становятся больше.
В этой проекции составляются карты, по которым нужно измерять углы, например, в метеорологии направление ветра, в мореплавании курс корабля (проекция Меркатора).
2. Равновеликими или эквивалентными (равноплощадными) проекциями называют такие, которые сохраняют постоянной величину отношения площадей на проекции к соответствующим площадям на эллипсоиде.
В этих проекциях площади карты пропорциональны соответствующим площадям изображаемой поверхности.
Условие равновеликости определяется формулой:
Р = m n = const
т.е. масштаб площадей постоянен.
Любой бесконечно малый кружок, взятый на эллипсоиде, изобразится на проекции эллипсом, но площадь его, как правило, будет равна площади кружка эллипсоида.
Таким образом, в равновеликих проекциях площади не искажаются и масштаб площади остается постоянным во всех частях карты.
Из рисунка 13 видно, что при переходе от параллели к параллели, формы эллипса меняются. При этом соблюдается строгая закономерность в том, что во сколько раз одна ось эллипса будет больше радиуса окружности, расположенной на линии нулевых искажений, во столько раз другая ось будет меньше его.
С удалением от линии нулевых искажений непрерывно возрастают искажения длин. Вместе с эти очень сильно искажаются формы, так как эллипсы по одному из главных направлений растягиваются, а по другому – сжимаются.
Масштаб длин меняется в зависимости от направления и при переходе от точки к точке, но среднее значение масштабов для всех точек остается одинаковым.
В этой проекции удобно составлять карты природных зон, это позволит сравнивать между собой площади отдельных зон.
Эта проекция весьма удобна и тем, что по картам, составленным в этой проекции, площади контуров можно измерять планиметром, таким же способом, как и по планам.
3. Произвольные, которые искажают углы и площади.
Среди произвольных проекций наиболее распространены равнопромежуточные (эквидистантные), у которых масштаб по одному из направлений, например, по меридианам или параллелям остается постоянным и равным главному. Примером такой проекции может служить рассмотренная выше квадратная проекция.
По характеру искажений произвольные проекции лежат между равноугольными и равновеликими.
В этих проекциях кружки, взятые на эллипсоиде, изобразятся на проекции в разных местах эллипсами различной формы и различной площади.
Искажения углов, линий и площадей разное, в зависимости от принятого условия для данной проекции.